Matematyka 0600-S1-O-MAT
Ćwiczenia (CW) Semestr zimowy 2023/24

Literatura podstawowa

1. Teresa Jurlewicz, Zbigniew Skoczylas, Algebra liniowa 1.Definicje, twierdzenia, wzory. Oficyna wydawnicza GiS(wiele wydań)

2. Marian Gewert, Zbigniew Skoczylas, Analiza matematyczna 1. Definicje, twierdzenia, wzory. Oficyna wydawnicza GiS (wiele wydań)

3. Marian Gewert, Zbigniew Skoczylas, Analiza matematyczna 2. Definicje, twierdzenia, wzory. Oficyna wydawnicza GiS (wiele wydań)

4. Kazimierz Kuratowski, Rachunek różniczkowy i całkowy. PWN (wiele wydań)

5. Franciszek Leja, Rachunek różniczkowy i całkowy. PWN (wiele wydań)

6. G.M. Fichtenholtz, Rachunek różniczkowy i całkowy. T I-III. PWN (wiele wydań)

Literatura uzupełniająca (zbiory zadań)

1. W. Krysicki i L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, t. I i II, PWN, Warszawa (wiele wydań).

2. J. Banaś i S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, WNT, Warszawa (wiele wydań).

3. W. Kaczor, Zadania z analizy matematycznej, cz. 1 i 2, PWN, Warszawa 2005.

4. Teresa Jurlewicz, Zbigniew Skoczylas, Algebra liniowa 1.Przyklady i zadania. Oficyna wydawnicza GiS(wiele wydań)

5. M. Gewert i Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1 oraz Analiza matematyczna 2. Przykłady i zadania. Oficyna wydawnicza GiS (wiele wydań)

I Semestr

Student:

W1: definiuje i analizuje pojęcia matematyczne poznane w szkole średniej, w szczególności: podstawowe operacje na zbiorach, wartość bezwzględna, funkcja, jej dziedzina, przeciwdziedzina, wykres, monotoniczność, wielomian, dzielenie wielomianów, funkcje trygonometryczne, wykładnicze i logarytmiczne,

W2: definiuje i analizuje pojęcia: produkt kartezjański zbiorów, obraz i przeciwobraz zbioru przez funkcję, funkcja odwracalna i odwrotna, w przypadku zbiorów i funkcji rzeczywistych interpretuje te pojęcia w układzie kartezjańskim,

W3: definiuje i analizuje funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej, rozpoznaje wykresy funkcji elementarnych,

U1: sprawnie oblicza stężenia zadanych roztworów, potrafi obliczaćmasy substratów do zadanych stężeń,

U2: rozwiązuje równania i nierówności wielomianowe, wymierne, z wartością bezwzględną, trygonometryczne, wykładnicze i logarytmiczne,

U3: znajduje sumę, różnicę, przekrój, produkt kartezjański zbiorów, przedstawia graficznie w dwu i trójwymiarowym układach współrzędnych zadane zbiory płaskie i przestrzenne, interpretuje graficznie zbiory rozwiązań nierówności z dwiema niewiadomymi,

U4: określa dziedzinę funkcji, weryfikuje jej różnowartościowość, monotoniczność, ograniczoność, znajduje funkcję odwrotną do funkcji odwracalnej, znajduje wykres funkcji powstałej w wyniku zastosowania podstawowych operacji na funkcji o znanym wykresie,

U5: wykonuje działania na liczbach zespolonych, znajduje postać trygonometryczną liczby zespolonej, mnoży i dzieli liczby w postaci trygonometrycznej, znajduje pierwiastki z liczby zespolonej, interpretuje geometrycznie liczby zespolone i działania na nich,

K1: kreatywność: myśli twórczo w celu udoskonalenia istniejących bądź stworzenia nowych rozwiązań,

K2: sumienność i dokładność: jest nastawiony na jak najlepsze wykonanie zadania; dba o szczegół; jest systematyczny,

K3: komunikatywność: skutecznie przekazuje innym osiągnięcia nauki w zrozumiały sposób; dostosowuje poziom i formę prezentacji do potrzeb i możliwości odbiorcy,

K4: samodzielność: w pełni samodzielnie realizuje uzgodnione cele, podejmując samodzielne i czasami trudne decyzje; potrafi samodzielnie wyszukiwać informacje w literaturze.

II Semestr

Student:

W4: definiuje podstawowe pojęcia algebry liniowej i prezentuje dotyczące ich twierdzenia (wektor, macierz, działania na macierzach, wyznacznik, macierz odwrotna, układ równań liniowych i jego rozwiązanie, wektor i wartość własna macierzy),

W5: definiuje i analizuje podstawowe pojęcia analizy matematycznej i prezentuje dotyczące ich twierdzenia (funkcja rzeczywista, ciąg rzeczywisty, monotoniczność, ograniczoność, granica ciągu, granica funkcji, ciągłość, szereg, jego zbieżność i suma, pochodna, ekstremum lokalne, wypukłość i wklęsłość funkcji, punkty przegięcia funkcji, asymptoty funkcji, funkcja pierwotna, całka oznaczona, całka niewłaściwa, granica i ciągłość funkcji wielu zmiennych, pochodne cząstkowe funkcji wielu zmiennych, ekstrema funkcji wielu zmiennych.

U6: oblicza wyznaczniki macierzy kwadratowych,

U7: rozwiązuje układy równań liniowych,

U8: znajduje macierz odwrotną do macierzy nieosobliwej,

U9: znajduje wektory i wartości własne macierzy kwadratowej,

U10: oblicza iloczyn skalarny i wektorowy wektorów w R^n, odległość punktów w R^n,

U11: weryfikuje monotoniczność, ograniczoność oraz zbieżność ciągów rzeczywistych i znajduje ich granice,

U12: weryfikuje zbieżność szeregów, znajduje sumy szeregów geometrycznych,

U13: znajduje granice funkcji (również niewłaściwe), weryfikuje jej ciągłość,

U14: oblicza pochodne funkcji, znajduje równania stycznych do wykresu, oblicza granice funkcji stosując reguły de l'Hospitala, przeprowadza pełne badanie funkcji,

U15: znajduje pierwotną funkcji należącej do klas omówionych na wykładzie,

U16: oblicza całki oznaczone i niewłaściwe,

U17: znajduje pochodne cząstkowe funkcji wielu zmiennych, oblicza przybliżone wartości funkcji dwu i trzech zmiennych, znajduje ekstrema funkcji dwu i trzech zmiennych.

K1: kreatywność: myśli twórczo w celu udoskonalenia istniejących bądź stworzenia nowych rozwiązań,

K2: sumienność i dokładność: jest nastawiony na jak najlepsze wykonanie zadania; dba o szczegół; jest systematyczny,

K3: komunikatywność: skutecznie przekazuje innym osiągnięcia nauki w zrozumiały sposób; dostosowuje poziom i formę prezentacji do potrzeb i możliwości odbiorcy,

K4: samodzielność: w pełni samodzielnie realizuje uzgodnione cele, podejmując samodzielne i czasami trudne decyzje; potrafi samodzielnie wyszukiwać informacje w literaturze.

Semestr I

Kolokwium sprawdzające efekty W1,W2,W3 (K_W03, K_W04) U1 ,U2 ,U3, U4, U5 (K_U03, K_U04)

Semestr II

Ćwiczenia - Kolokwium sprawdzające efekty U6-U17 (K_U03, K_U04)

Wykład – Egzamin pisemny sprawdzający efekty W4,W5 (K_W03) ,U6-U17 (K_U03)

Semestr I

1. Procenty, proporcje, stężenia

2. Funkcja -dziedzina i zbiór wartości, -wykres i jego przekształcenia -obraz i przeciwobraz zbioru -monotoniczność, ograniczoność, parzystość i nieparzystość

3. Równania i nierówności kwadratowe

4. Wartość bezwzględna, równania, nierówności

5. Wielomiany i funkcje wymierne -dzielenie wielomianów -tw. Bezout -pierwiastki wielomianów - równania i nierówności wielomianowe i wymierne

7. Działanie na zbiorach -suma, przekrój, różnica zbiorów -iloczyn kartezjański -graficzna interpretacja iloczynu kartezjańskiego w płaskim i przestrzennym układzie kartezjańskim -graficzna interpretacja prostych równań i nierówności z dwiema Niewiadomymi

8. Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej -definicja , podstawowe własności, wykresy -wzory redukcyjne -podstawowe tożsamości trygonometryczne -równania i nierówności trygonometryczne

9. Funkcje wykładnicze i logarytmiczne - definicja, podstawowe własności, wykresy -równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne

10. Liczby zespolone -definicja, interpretacja geometryczna -działania w liczbach zespolonych -postać trygonometryczna liczby zespolonej -mnożenie i dzielenie liczb w postaci trygonometrycznej -wzór de Moivre’a -pierwiastki liczby zespolonej

Semestr II

1. Elementy logiki i teorii zbiorów -tabele wartościowań podstawowych spójników -wyrażenia logiczne, tautologie -prawa de Morgana, zaprzeczenie implikacji, schemat dowodu przez sprzeczność -kwantyfikatory, prawa de Morgana dla kwantyfikatorów -związki rachunku zdań z teorią mnogości

2. Zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory; indukcja matematyczna -liczby rzeczywiste jako punkty osi liczbowej, -kres zbioru -liczby naturalne, zasada indukcji, dowód indukcyjny, -nierówność Bernoulliego, wzór dwumienny Newtona, -liczby całkowite, wymierne, niewymierne,

3. R^n jako przestrzeń liniowa. Macierze i wyznaczniki -definicja wektora i macierzy -działania na wektorach i macierzach -liniowa niezależność wektorów -definicja, podstawowe własności i obliczanie wyznacznika

4. Układy równań liniowych -definicja układu Cramera i tw. Cramera -definicja i podstawowe własności rzędu macierzy -ogólne układy równań liniowych, tw. Kroneckera-Capellego -metoda Gaussa rozwiązywania układów równań liniowych

5. Wektory i wartości własne macierzy; iloczyn skalarny, norma, odległość -znajdowanie wektorów i wartości własnych macierzy - iloczyn skalarny i wektorowy w R^3 i ich własności -norma wektora, nierówność Schwarza -odległość w R^n -równanie płaszczyzny w R^3, znajdowanie płaszczyzn o zadanych własnościach

6. Ciągi liczb rzeczywistych -definicja, podstawowe własności -definicja granicy i jej własności -podstawowe twierdzenia dotyczące granic ciągów -podstawowe klasy ciągów zbieżnych, znajdowanie granic ciągów -ciągi rozbieżne do nieskończoności -liczba e

7. Szeregi liczbowe -definicja szeregu i jego zbieżności, szereg geometryczny -warunek konieczny zbieżności szeregu, szereg harmoniczny -szeregi o wyrazach dodatnich, Kryterium Porównawcze, Kryterium d'Alamberta, Kryterium Cauchy'ego, Kryterium o Zagęszczaniu -szeregi o wyrazach dowolnych, zbieżność bezwzględna, Kryterium Leibniza, Kryterium Abela, Kryterium Dirichleta -iloczyn Cauchy'ego szeregów

8. Granica i ciągłość funkcji -definicja granicy funkcji i jej podstawowe własności -granice jednostronne -twierdzenie o trzech funkcjach -granice niewłaściwe -ciągłość funkcji w punkcie, w zbiorze, -własności funkcji ciągłych -ciągłość funkcji elementarnych -granice w 0 funkcji (sin x)/x oraz (a^x-1)/x -znajdowanie granic funkcji, weryfikowanie ciągłości funkcji,

9. Pochodna funkcji -definicja i podstawowe własności -równanie stycznej do wykresu -pochodne niektórych funkcji elementarnych -pochodna funkcji złożonej i odwrotnej, pochodne pierwiastków, funkcji cyklometrycznych i logarytmicznych -twierdzenia o wartości średniej

10. Zastosowania pochodnych -twierdzenia o monotoniczności i ekstremach funkcji rzeczywistych -reguły de l'Hospitala -wklęsłość i wypukłość funkcji -asymptoty -pełne badanie funkcji

11. Całka nieoznaczona i metody całkowania -definicja i podstawowe własności -całki elementarne -całkowanie przez części -całkowanie przez podstawienie -całkowanie ułamków prostych -rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste -całkowanie funkcji niewymiernych -podstawienia Eulera -całkowanie funkcji trygonometrycznych

12. Całka oznaczona i jej zastosowania -definicja i podstawowe własności -całkowanie przez podstawienie i przez części dla całki oznaczonej -tw. Newtona-Leibniza -obliczanie pól powierzchni obszarów płaskich z zastosowaniem całki oznaczonej

13. Funkcje wielu zmiennych, granica i ciągłość -przykłady prostych funkcji dwu zmiennych i ich wykresy -ciągi w R^n i ich zbieżność -definicja granicy funkcji dwu i trzech zmiennych -przykłady granic podwójnych, granice niewłaściwe -ciągłość, ciągłość funkcji elementarnych

14. Pochodne funkcji wielu zmiennych -definicje pochodnych cząstkowych pierwszego i drugiego rzędu -równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji dwu zmiennych -wzór Taylora z drugą pochodną dla funkcji dwu i trzech zmiennych -przybliżone wartości funkcji

15. Ekstrema lokalne -definicja ekstremum lokalnego funkcji wielu zmiennych -tw. o ekstremach lokalnych funkcji dwu i trzech zmiennych

Semestr I

Ćwiczenia : metoda ćwiczeniowa + krótki referat kolejnego tematu na początku zajęć,

Semestr II

Wykład : wykład konwencjonalny z prezentacją multimedialną, Ćwiczenia : metoda ćwiczeniowa.