Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu - Centralny punkt logowaniaNie jesteś zalogowany | zaloguj się
katalog przedmiotów - pomoc

Analiza matematyczna I

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-MS1-AnMat1 Kod Erasmus / ISCED: (brak danych) / (0541) Matematyka
Nazwa przedmiotu: Analiza matematyczna I
Jednostka: Wydział Matematyki i Informatyki
Grupy: Matematyka stosowana, 1 rok, studia I stopnia
Punkty ECTS i inne: 8.00
Język prowadzenia: polski
Wymagania wstępne:

Dysponuje zakresem ogólnej wiedzy matematycznej wymaganej na egzaminie maturalnym z matematyki.

Rodzaj przedmiotu:

przedmiot obowiązkowy

Całkowity nakład pracy studenta:

30 godzin – wykład;

45 godzin – ćwiczenia;

4 godziny – egzamin;

90 godzin – praca własna (bieżące przygotowanie do zajęć, studiowanie literatury);

40 godzin – przygotowanie do egzaminu.


209 godzin, 8 ECTS


Efekty uczenia się - wiedza:

W1: zna własności liczb rzeczywistych (K_W02) (kody odnoszą się do efektów kształcenia dla studiów I stopnia na kierunku matematyka stosowana);

W2: formułuje pojęcia analizy matematycznej I (w tym kresy zbioru, granice ciągu), stosując rachunek zdań i kwantyfikatorów oraz elementy teorii mnogości (K_W02);

W3: formułuje podstawowe twierdzenia analizy matematycznej I, ilustruje je przykładami i przedstawia ich uzasadnienia (K_W02) .


Efekty uczenia się - umiejętności:

U1: wyprowadza pewne własności liczb rzeczywistych korzystając z aksjomatów (K_U06);

U2: wyznacza kresy zbiorów i granice ciągów (K_U07);

U3: bada zbieżność ciągu i szeregu liczbowego (K_U07);

U4: poprawnie stosuje rachunek zdań i kwantyfikatorów oraz elementy teorii mnogości do uzasadniania faktów w obszarze analizy matematycznej I (K_U04, K_U06).


Efekty uczenia się - kompetencje społeczne:

K1: ściśle i precyzyjnie formułuje zdania oraz właściwie rozumie znaczenie formalnego zapisu matematycznego (K_K02, K_K03);

K2: rozwiązując problem poszukuje różnych metod, widząc analogie do innych zagadnień (K_K01, K_K04).


Metody dydaktyczne:

Wykład prowadzony metodą tradycyjną. Wprowadzane pojęcia i fakty są ilustrowane przykładami.

Ćwiczenia z bezpośrednim udziałem nauczyciela akademickiego wzbogacone o zestawy zadań do indywidualnego rozwiązania.


Metody dydaktyczne podające:

- wykład informacyjny (konwencjonalny)

Metody dydaktyczne poszukujące:

- ćwiczeniowa

Skrócony opis:

Celem wykładu jest przedstawienie podstawowych informacji na temat zbioru liczb rzeczywistych oraz pojęć: kresu zbioru, granicy ciągu i zbieżności szeregu liczbowego. Ćwiczenia mają charakter rachunkowy. Ich zadaniem jest pomoc w zrozumieniu wykładu i nabycie zdolności rachunkowych.

Pełny opis:

Treści programowe wykładu:

1) Pojęcia wstępne

a) Elementy rachunku zdań i kwantyfikatorów;

b) Elementarna teoria zbiorów;

c) Pojęcie funkcji, funkcje różnowartościowe , „na” i odwracalne.

2) Liczby rzeczywiste

a) Uwagi historyczne i podejście „naturalne”;

b) Definicja aksjomatyczna zbioru liczb rzeczywistych;

c) Konsekwencje aksjomatów algebraicznych i porządkowych, wartość bezwzględna;

d) Definicja i własności kresów zbioru;

e) Zasada Archimedesa i twierdzenie Cantora;

f) Równoliczność, przeliczalność i nieprzeliczalność zbiorów;

g) Zbiory liczb: naturalnych, całkowitych i wymiernych;

h) Podstawowe nierówności.

3) Ciągi liczbowe

a) Prawie wszystkie i nieskończenie wiele wyrazów ciągu;

b) Definicja i własności granicy ciągu, twierdzenie o trzech ciągach;

c) Ciągi ograniczone i monotoniczne, liczba e;

d) Granice niewłaściwe ciągu;

e) Twierdzenie Stolza;

f) Własność Cauchy’ego, zupełność;

g) Podciągi, twierdzenie Bolzano-Weierstrassa;

h) Punkty skupienia, granice dolna i górna ciągu.

4) Szeregi liczbowe

a) Zbieżność szeregu, warunek konieczny zbieżności;

b) Kryteria zbieżności dla szeregów o wyrazach nieujemnych;

c) Kryteria zbieżności dla szeregów o wyrazach dowolnych;

d) Zbieżność bezwzględna i warunkowa.

Treści programowe ćwiczeń

1) Stosowanie notacji reguł wnioskowania w ramach wiadomości wstępnych

a) Sprawdzanie wartości logicznej zdań oraz zastosowanie kwantyfikatorów;

b) Wykonywanie operacji na zbiorach;

c) Badanie różnowartościowości, wyznaczanie obrazów, przeciwobrazów i funkcji odwrotnych.

2) Własności liczb rzeczywistych

a) Uzasadnianie wybranych własności działań na liczbach oraz własności porządkowych ;

b) Posługiwanie się wartością bezwzględną;

c) Operowanie pojęciem kresu zbioru oraz jego własnościami;

d) Wyznaczanie kresów zbioru;

e) Posługiwanie się zasadą Archimedesa i twierdzeniem Cantora;

f) Badanie równoliczności i przeliczalności zbiorów;

g) Wykorzystanie podstawowych nierówności w zadaniach i przykładach.

3) Badanie własności ciągów liczbowych

a) Wyznaczanie granicy ciągu z definicji z wykorzystaniem pojęcia prawie wszystkich wyrazów ciągu;

b) Obliczanie granicy ciągu;

c) Badanie monotoniczności i ograniczoności ciagów;

d) Wyznaczanie granic niewłaściwych;

e) Wykorzystanie twierdzenia Stolza do wyznaczania granicy ciągu;

f) Sprawdzanie własności Cauchy’ego ciągu;

g) Konstrukcje podciągów ;

h) Wyznaczanie granic górnych, dolnych i punktów skupienia oraz uzasadnianie ich własności.

4) Badanie zbieżności szeregów liczbowych

a) Przykłady szeregów zbieżnych i rozbieżnych;

b) Wykorzystanie kryterium porównawczego, kryteriów d’Alemberta i Cauchyego;

c) Wykorzystanie kryterium Dirichleta i Abela;

d) Przykłady szeregów zbieżnych bezwzględnie i zbieżnych warunkowo, zmiana kolejności sumowania.

Literatura:

Literatura podstawowa:

1) W. Kryszewski, Wykład analizy matematycznej. Cz.1: Funkcje jednej zmiennej, Wydawnictwo UMK, Toruń 2009;

2) K. Kuratowski, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa (wiele wydań);

3) G.M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. I,II, PWN, Warszawa (wiele wydań).

Literatura uzupełniająca (w tym zbiory zadań)

1) A Birkholc, Analiza matematyczna dla nauczycieli, PWN, Warszawa 1980;

2) H. Rasiowa, Wstęp do matematyki, PWN, Warszawa (wiele wydań);

3) D. Miklaszewski, Wstęp do matematyki, Wydawnictwo UMK, Toruń 2015;

4) W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, t.I, PWN, Warszawa (wiele wydań);

5) J. Banaś, S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, WNT, Warszawa (wiele wydań);

6) W. Kaczor, Zadania z analizy matematycznej, cz 1, PWN, Warszawa 2005;

7) M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, Definicje, twierdzenia, wzory oraz Przykłady i zadania, Matematyka dla Studentów Politechnik, Oficyna Wydawnicza GiS, wydania z ostatnich lat.

Metody i kryteria oceniania:

Przedmiot kończy się egzaminem pisemnym i ustnym. Ćwiczenia kończą się zaliczeniem na ocenę, która wystawiana jest na podstawie wyników kolokwiów oraz aktywności studenta. W uzgodnieniu z koordynatorem w skład oceny mogą wchodzić również wyniki krótkich sprawdzianów.

Efekty kształcenia sprawdzane podczas zaliczenia, to:

Egzamin pisemny: W1, W2, W3, U1, U2, U3, U4, K1, K2;

Egzamin ustny: W1, W2, W3, K1;

Kolokwia pisemne na ćwiczeniach: U1, U2, U3, U4, K1, K2;

Aktywność: K1, K2.

Praktyki zawodowe:

Nie dotyczy

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2017/18" (zakończony)

Okres: 2017-10-01 - 2018-02-25
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 45 godzin, 30 miejsc więcej informacji
Wykład, 30 godzin, 100 miejsc więcej informacji
Koordynatorzy: Sławomir Plaskacz
Prowadzący grup: Anna Gołębiewska, Krzysztof Jasiński, Sławomir Plaskacz
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Ćwiczenia - Zaliczenie na ocenę
Wykład - Egzamin
Skrócony opis:

Celem wykładu jest przedstawienie podstawowych informacji na temat zbioru liczb rzeczywistych oraz pojęć: kresu zbioru, granicy ciągu i zbieżności szeregu liczbowego. Ćwiczenia mają charakter rachunkowy. Ich zadaniem jest pomoc w zrozumieniu wykładu i nabycie zdolności rachunkowych.

Pełny opis:

Treści programowe wykładu:

1) Pojęcia wstępne

a) Elementy rachunku zdań i kwantyfikatorów;

b) Elementarna teoria zbiorów;

c) Pojęcie funkcji, funkcje różnowartościowe , „na” i odwracalne.

2) Liczby rzeczywiste

a) Uwagi historyczne i podejście „naturalne”;

b) Definicja aksjomatyczna zbioru liczb rzeczywistych;

c) Konsekwencje aksjomatów algebraicznych i porządkowych, wartość bezwzględna;

d) Definicja i własności kresów zbioru;

e) Zasada Archimedesa i twierdzenie Cantora;

f) Równoliczność, przeliczalność i nieprzeliczalność zbiorów;

g) Zbiory liczb: naturalnych, całkowitych i wymiernych;

h) Podstawowe nierówności.

3) Ciągi liczbowe

a) Prawie wszystkie i nieskończenie wiele wyrazów ciągu;

b) Definicja i własności granicy ciągu, twierdzenie o trzech ciągach;

c) Ciągi ograniczone i monotoniczne, liczba e;

d) Granice niewłaściwe ciągu;

e) Twierdzenie Stolza;

f) Własność Cauchy’ego, zupełność;

g) Podciągi, twierdzenie Bolzano-Weierstrassa;

h) Punkty skupienia, granice dolna i górna ciągu.

4) Szeregi liczbowe

a) Zbieżność szeregu, warunek konieczny zbieżności;

b) Kryteria zbieżności dla szeregów o wyrazach nieujemnych;

c) Kryteria zbieżności dla szeregów o wyrazach dowolnych;

d) Zbieżność bezwzględna i warunkowa.

Treści programowe ćwiczeń

1) Stosowanie notacji reguł wnioskowania w ramach wiadomości wstępnych

a) Sprawdzanie wartości logicznej zdań oraz zastosowanie kwantyfikatorów;

b) Wykonywanie operacji na zbiorach;

c) Badanie różnowartościowości, wyznaczanie obrazów, przeciwobrazów i funkcji odwrotnych.

2) Własności liczb rzeczywistych

a) Uzasadnianie wybranych własności działań na liczbach oraz własności porządkowych ;

b) Posługiwanie się wartością bezwzględną;

c) Operowanie pojęciem kresu zbioru oraz jego własnościami;

d) Wyznaczanie kresów zbioru;

e) Posługiwanie się zasadą Archimedesa i twierdzeniem Cantora;

f) Badanie równoliczności i przeliczalności zbiorów;

g) Wykorzystanie podstawowych nierówności w zadaniach i przykładach.

3) Badanie własności ciągów liczbowych

a) Wyznaczanie granicy ciągu z definicji z wykorzystaniem pojęcia prawie wszystkich wyrazów ciągu;

b) Obliczanie granicy ciągu;

c) Badanie monotoniczności i ograniczoności ciagów;

d) Wyznaczanie granic niewłaściwych;

e) Wykorzystanie twierdzenia Stolza do wyznaczania granicy ciągu;

f) Sprawdzanie własności Cauchy’ego ciągu;

g) Konstrukcje podciągów ;

h) Wyznaczanie granic górnych, dolnych i punktów skupienia oraz uzasadnianie ich własności.

4) Badanie zbieżności szeregów liczbowych

a) Przykłady szeregów zbieżnych i rozbieżnych;

b) Wykorzystanie kryterium porównawczego, kryteriów d’Alemberta i Cauchyego;

c) Wykorzystanie kryterium Dirichleta i Abela;

d) Przykłady szeregów zbieżnych bezwzględnie i zbieżnych warunkowo, zmiana kolejności sumowania.

Literatura:

Literatura podstawowa:

1) W. Kryszewski, Wykład analizy matematycznej. Cz.1: Funkcje jednej zmiennej, Wydawnictwo UMK, Toruń 2009;

2) K. Kuratowski, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa (wiele wydań);

3) G.M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. I,II, PWN, Warszawa (wiele wydań).

Literatura uzupełniająca (w tym zbiory zadań)

1) A Birkholc, Analiza matematyczna dla nauczycieli, PWN, Warszawa 1980;

2) H. Rasiowa, Wstęp do matematyki, PWN, Warszawa (wiele wydań);

3) D. Miklaszewski, Wstęp do matematyki, Wydawnictwo UMK, Toruń 2015;

4) W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, t.I, PWN, Warszawa (wiele wydań);

5) J. Banaś, S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, WNT, Warszawa (wiele wydań);

6) W. Kaczor, Zadania z analizy matematycznej, cz 1, PWN, Warszawa 2005;

7) M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, Definicje, twierdzenia, wzory oraz Przykłady i zadania, Matematyka dla Studentów Politechnik, Oficyna Wydawnicza GiS, wydania z ostatnich lat.

Uwagi:

Brak

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2018/19" (zakończony)

Okres: 2018-10-01 - 2019-02-24
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 45 godzin, 30 miejsc więcej informacji
Wykład, 45 godzin, 100 miejsc więcej informacji
Koordynatorzy: Sławomir Plaskacz
Prowadzący grup: Anna Gołębiewska, Krzysztof Jasiński, Sławomir Plaskacz
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Ćwiczenia - Zaliczenie na ocenę
Wykład - Egzamin
Skrócony opis:

Celem wykładu jest przedstawienie podstawowych informacji na temat zbioru liczb rzeczywistych oraz pojęć: kresu zbioru, granicy ciągu i zbieżności szeregu liczbowego. Ćwiczenia mają charakter rachunkowy. Ich zadaniem jest pomoc w zrozumieniu wykładu i nabycie zdolności rachunkowych.

Pełny opis:

Treści programowe wykładu:

1) Pojęcia wstępne

a) Elementy rachunku zdań i kwantyfikatorów;

b) Elementarna teoria zbiorów;

c) Pojęcie funkcji, funkcje różnowartościowe , „na” i odwracalne.

2) Liczby rzeczywiste

a) Uwagi historyczne i podejście „naturalne”;

b) Definicja aksjomatyczna zbioru liczb rzeczywistych;

c) Konsekwencje aksjomatów algebraicznych i porządkowych, wartość bezwzględna;

d) Definicja i własności kresów zbioru;

e) Zasada Archimedesa i twierdzenie Cantora;

f) Równoliczność, przeliczalność i nieprzeliczalność zbiorów;

g) Zbiory liczb: naturalnych, całkowitych i wymiernych;

h) Podstawowe nierówności.

3) Ciągi liczbowe

a) Prawie wszystkie i nieskończenie wiele wyrazów ciągu;

b) Definicja i własności granicy ciągu, twierdzenie o trzech ciągach;

c) Ciągi ograniczone i monotoniczne, liczba e;

d) Granice niewłaściwe ciągu;

e) Twierdzenie Stolza;

f) Własność Cauchy’ego, zupełność;

g) Podciągi, twierdzenie Bolzano-Weierstrassa;

h) Punkty skupienia, granice dolna i górna ciągu.

4) Szeregi liczbowe

a) Zbieżność szeregu, warunek konieczny zbieżności;

b) Kryteria zbieżności dla szeregów o wyrazach nieujemnych;

c) Kryteria zbieżności dla szeregów o wyrazach dowolnych;

d) Zbieżność bezwzględna i warunkowa.

Treści programowe ćwiczeń

1) Stosowanie notacji reguł wnioskowania w ramach wiadomości wstępnych

a) Sprawdzanie wartości logicznej zdań oraz zastosowanie kwantyfikatorów;

b) Wykonywanie operacji na zbiorach;

c) Badanie różnowartościowości, wyznaczanie obrazów, przeciwobrazów i funkcji odwrotnych.

2) Własności liczb rzeczywistych

a) Uzasadnianie wybranych własności działań na liczbach oraz własności porządkowych ;

b) Posługiwanie się wartością bezwzględną;

c) Operowanie pojęciem kresu zbioru oraz jego własnościami;

d) Wyznaczanie kresów zbioru;

e) Posługiwanie się zasadą Archimedesa i twierdzeniem Cantora;

f) Badanie równoliczności i przeliczalności zbiorów;

g) Wykorzystanie podstawowych nierówności w zadaniach i przykładach.

3) Badanie własności ciągów liczbowych

a) Wyznaczanie granicy ciągu z definicji z wykorzystaniem pojęcia prawie wszystkich wyrazów ciągu;

b) Obliczanie granicy ciągu;

c) Badanie monotoniczności i ograniczoności ciagów;

d) Wyznaczanie granic niewłaściwych;

e) Wykorzystanie twierdzenia Stolza do wyznaczania granicy ciągu;

f) Sprawdzanie własności Cauchy’ego ciągu;

g) Konstrukcje podciągów ;

h) Wyznaczanie granic górnych, dolnych i punktów skupienia oraz uzasadnianie ich własności.

4) Badanie zbieżności szeregów liczbowych

a) Przykłady szeregów zbieżnych i rozbieżnych;

b) Wykorzystanie kryterium porównawczego, kryteriów d’Alemberta i Cauchyego;

c) Wykorzystanie kryterium Dirichleta i Abela;

d) Przykłady szeregów zbieżnych bezwzględnie i zbieżnych warunkowo, zmiana kolejności sumowania.

Literatura:

Literatura podstawowa:

1) W. Kryszewski, Wykład analizy matematycznej. Cz.1: Funkcje jednej zmiennej, Wydawnictwo UMK, Toruń 2009;

2) K. Kuratowski, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa (wiele wydań);

3) G.M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. I,II, PWN, Warszawa (wiele wydań).

Literatura uzupełniająca (w tym zbiory zadań)

1) A Birkholc, Analiza matematyczna dla nauczycieli, PWN, Warszawa 1980;

2) H. Rasiowa, Wstęp do matematyki, PWN, Warszawa (wiele wydań);

3) D. Miklaszewski, Wstęp do matematyki, Wydawnictwo UMK, Toruń 2015;

4) W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, t.I, PWN, Warszawa (wiele wydań);

5) J. Banaś, S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, WNT, Warszawa (wiele wydań);

6) W. Kaczor, Zadania z analizy matematycznej, cz 1, PWN, Warszawa 2005;

7) M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, Definicje, twierdzenia, wzory oraz Przykłady i zadania, Matematyka dla Studentów Politechnik, Oficyna Wydawnicza GiS, wydania z ostatnich lat.

Uwagi:

Brak

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2019/20" (zakończony)

Okres: 2019-10-01 - 2020-02-28
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 45 godzin, 30 miejsc więcej informacji
Wykład, 45 godzin, 60 miejsc więcej informacji
Koordynatorzy: Sławomir Plaskacz
Prowadzący grup: Anna Gołębiewska, Sławomir Plaskacz
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Ćwiczenia - Zaliczenie na ocenę
Wykład - Egzamin
Skrócony opis:

Celem wykładu jest przedstawienie podstawowych informacji na temat zbioru liczb rzeczywistych oraz pojęć: kresu zbioru, granicy ciągu i zbieżności szeregu liczbowego. Ćwiczenia mają charakter rachunkowy. Ich zadaniem jest pomoc w zrozumieniu wykładu i nabycie zdolności rachunkowych.

Pełny opis:

Treści programowe wykładu:

1) Pojęcia wstępne

a) Elementy rachunku zdań i kwantyfikatorów;

b) Elementarna teoria zbiorów;

c) Pojęcie funkcji, funkcje różnowartościowe , „na” i odwracalne.

2) Liczby rzeczywiste

a) Uwagi historyczne i podejście „naturalne”;

b) Definicja aksjomatyczna zbioru liczb rzeczywistych;

c) Konsekwencje aksjomatów algebraicznych i porządkowych, wartość bezwzględna;

d) Definicja i własności kresów zbioru;

e) Zasada Archimedesa i twierdzenie Cantora;

f) Równoliczność, przeliczalność i nieprzeliczalność zbiorów;

g) Zbiory liczb: naturalnych, całkowitych i wymiernych;

h) Podstawowe nierówności.

3) Ciągi liczbowe

a) Prawie wszystkie i nieskończenie wiele wyrazów ciągu;

b) Definicja i własności granicy ciągu, twierdzenie o trzech ciągach;

c) Ciągi ograniczone i monotoniczne, liczba e;

d) Granice niewłaściwe ciągu;

e) Twierdzenie Stolza;

f) Własność Cauchy’ego, zupełność;

g) Podciągi, twierdzenie Bolzano-Weierstrassa;

h) Punkty skupienia, granice dolna i górna ciągu.

4) Szeregi liczbowe

a) Zbieżność szeregu, warunek konieczny zbieżności;

b) Kryteria zbieżności dla szeregów o wyrazach nieujemnych;

c) Kryteria zbieżności dla szeregów o wyrazach dowolnych;

d) Zbieżność bezwzględna i warunkowa.

Treści programowe ćwiczeń

1) Stosowanie notacji reguł wnioskowania w ramach wiadomości wstępnych

a) Sprawdzanie wartości logicznej zdań oraz zastosowanie kwantyfikatorów;

b) Wykonywanie operacji na zbiorach;

c) Badanie różnowartościowości, wyznaczanie obrazów, przeciwobrazów i funkcji odwrotnych.

2) Własności liczb rzeczywistych

a) Uzasadnianie wybranych własności działań na liczbach oraz własności porządkowych ;

b) Posługiwanie się wartością bezwzględną;

c) Operowanie pojęciem kresu zbioru oraz jego własnościami;

d) Wyznaczanie kresów zbioru;

e) Posługiwanie się zasadą Archimedesa i twierdzeniem Cantora;

f) Badanie równoliczności i przeliczalności zbiorów;

g) Wykorzystanie podstawowych nierówności w zadaniach i przykładach.

3) Badanie własności ciągów liczbowych

a) Wyznaczanie granicy ciągu z definicji z wykorzystaniem pojęcia prawie wszystkich wyrazów ciągu;

b) Obliczanie granicy ciągu;

c) Badanie monotoniczności i ograniczoności ciagów;

d) Wyznaczanie granic niewłaściwych;

e) Wykorzystanie twierdzenia Stolza do wyznaczania granicy ciągu;

f) Sprawdzanie własności Cauchy’ego ciągu;

g) Konstrukcje podciągów ;

h) Wyznaczanie granic górnych, dolnych i punktów skupienia oraz uzasadnianie ich własności.

4) Badanie zbieżności szeregów liczbowych

a) Przykłady szeregów zbieżnych i rozbieżnych;

b) Wykorzystanie kryterium porównawczego, kryteriów d’Alemberta i Cauchyego;

c) Wykorzystanie kryterium Dirichleta i Abela;

d) Przykłady szeregów zbieżnych bezwzględnie i zbieżnych warunkowo, zmiana kolejności sumowania.

Literatura:

Literatura podstawowa:

1) W. Kryszewski, Wykład analizy matematycznej. Cz.1: Funkcje jednej zmiennej, Wydawnictwo UMK, Toruń 2009;

2) K. Kuratowski, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa (wiele wydań);

3) G.M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. I,II, PWN, Warszawa (wiele wydań).

Literatura uzupełniająca (w tym zbiory zadań)

1) A Birkholc, Analiza matematyczna dla nauczycieli, PWN, Warszawa 1980;

2) H. Rasiowa, Wstęp do matematyki, PWN, Warszawa (wiele wydań);

3) D. Miklaszewski, Wstęp do matematyki, Wydawnictwo UMK, Toruń 2015;

4) W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, t.I, PWN, Warszawa (wiele wydań);

5) J. Banaś, S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, WNT, Warszawa (wiele wydań);

6) W. Kaczor, Zadania z analizy matematycznej, cz 1, PWN, Warszawa 2005;

7) M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, Definicje, twierdzenia, wzory oraz Przykłady i zadania, Matematyka dla Studentów Politechnik, Oficyna Wydawnicza GiS, wydania z ostatnich lat.

Uwagi:

Brak

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2020/21" (zakończony)

Okres: 2020-10-01 - 2021-02-21
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 45 godzin, 30 miejsc więcej informacji
Wykład, 45 godzin, 60 miejsc więcej informacji
Koordynatorzy: Sławomir Plaskacz
Prowadzący grup: Anna Gołębiewska, Mateusz Maciejewski, Sławomir Plaskacz
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Ćwiczenia - Zaliczenie na ocenę
Wykład - Egzamin
Skrócony opis:

Celem wykładu jest przedstawienie podstawowych informacji na temat zbioru liczb rzeczywistych oraz pojęć: kresu zbioru, granicy ciągu i zbieżności szeregu liczbowego. Ćwiczenia mają charakter rachunkowy. Ich zadaniem jest pomoc w zrozumieniu wykładu i nabycie zdolności rachunkowych.

Pełny opis:

Treści programowe wykładu:

1) Pojęcia wstępne

a) Elementy rachunku zdań i kwantyfikatorów;

b) Elementarna teoria zbiorów;

c) Pojęcie funkcji, funkcje różnowartościowe , „na” i odwracalne.

2) Liczby rzeczywiste

a) Uwagi historyczne i podejście „naturalne”;

b) Definicja aksjomatyczna zbioru liczb rzeczywistych;

c) Konsekwencje aksjomatów algebraicznych i porządkowych, wartość bezwzględna;

d) Definicja i własności kresów zbioru;

e) Zasada Archimedesa i twierdzenie Cantora;

f) Równoliczność, przeliczalność i nieprzeliczalność zbiorów;

g) Zbiory liczb: naturalnych, całkowitych i wymiernych;

h) Podstawowe nierówności.

3) Ciągi liczbowe

a) Prawie wszystkie i nieskończenie wiele wyrazów ciągu;

b) Definicja i własności granicy ciągu, twierdzenie o trzech ciągach;

c) Ciągi ograniczone i monotoniczne, liczba e;

d) Granice niewłaściwe ciągu;

e) Twierdzenie Stolza;

f) Własność Cauchy’ego, zupełność;

g) Podciągi, twierdzenie Bolzano-Weierstrassa;

h) Punkty skupienia, granice dolna i górna ciągu.

4) Szeregi liczbowe

a) Zbieżność szeregu, warunek konieczny zbieżności;

b) Kryteria zbieżności dla szeregów o wyrazach nieujemnych;

c) Kryteria zbieżności dla szeregów o wyrazach dowolnych;

d) Zbieżność bezwzględna i warunkowa.

Treści programowe ćwiczeń

1) Stosowanie notacji reguł wnioskowania w ramach wiadomości wstępnych

a) Sprawdzanie wartości logicznej zdań oraz zastosowanie kwantyfikatorów;

b) Wykonywanie operacji na zbiorach;

c) Badanie różnowartościowości, wyznaczanie obrazów, przeciwobrazów i funkcji odwrotnych.

2) Własności liczb rzeczywistych

a) Uzasadnianie wybranych własności działań na liczbach oraz własności porządkowych ;

b) Posługiwanie się wartością bezwzględną;

c) Operowanie pojęciem kresu zbioru oraz jego własnościami;

d) Wyznaczanie kresów zbioru;

e) Posługiwanie się zasadą Archimedesa i twierdzeniem Cantora;

f) Badanie równoliczności i przeliczalności zbiorów;

g) Wykorzystanie podstawowych nierówności w zadaniach i przykładach.

3) Badanie własności ciągów liczbowych

a) Wyznaczanie granicy ciągu z definicji z wykorzystaniem pojęcia prawie wszystkich wyrazów ciągu;

b) Obliczanie granicy ciągu;

c) Badanie monotoniczności i ograniczoności ciagów;

d) Wyznaczanie granic niewłaściwych;

e) Wykorzystanie twierdzenia Stolza do wyznaczania granicy ciągu;

f) Sprawdzanie własności Cauchy’ego ciągu;

g) Konstrukcje podciągów ;

h) Wyznaczanie granic górnych, dolnych i punktów skupienia oraz uzasadnianie ich własności.

4) Badanie zbieżności szeregów liczbowych

a) Przykłady szeregów zbieżnych i rozbieżnych;

b) Wykorzystanie kryterium porównawczego, kryteriów d’Alemberta i Cauchyego;

c) Wykorzystanie kryterium Dirichleta i Abela;

d) Przykłady szeregów zbieżnych bezwzględnie i zbieżnych warunkowo, zmiana kolejności sumowania.

Literatura:

Literatura podstawowa:

1) W. Kryszewski, Wykład analizy matematycznej. Cz.1: Funkcje jednej zmiennej, Wydawnictwo UMK, Toruń 2009;

2) K. Kuratowski, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa (wiele wydań);

3) G.M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. I,II, PWN, Warszawa (wiele wydań).

Literatura uzupełniająca (w tym zbiory zadań)

1) A Birkholc, Analiza matematyczna dla nauczycieli, PWN, Warszawa 1980;

2) H. Rasiowa, Wstęp do matematyki, PWN, Warszawa (wiele wydań);

3) D. Miklaszewski, Wstęp do matematyki, Wydawnictwo UMK, Toruń 2015;

4) W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, t.I, PWN, Warszawa (wiele wydań);

5) J. Banaś, S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, WNT, Warszawa (wiele wydań);

6) W. Kaczor, Zadania z analizy matematycznej, cz 1, PWN, Warszawa 2005;

7) M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, Definicje, twierdzenia, wzory oraz Przykłady i zadania, Matematyka dla Studentów Politechnik, Oficyna Wydawnicza GiS, wydania z ostatnich lat.

Uwagi:

Brak

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2021/22" (jeszcze nie rozpoczęty)

Okres: 2021-10-01 - 2022-02-27
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 45 godzin, 30 miejsc więcej informacji
Wykład, 45 godzin, 60 miejsc więcej informacji
Koordynatorzy: (brak danych)
Prowadzący grup: (brak danych)
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Ćwiczenia - Zaliczenie na ocenę
Wykład - Egzamin
Skrócony opis:

Celem wykładu jest przedstawienie podstawowych informacji na temat zbioru liczb rzeczywistych oraz pojęć: kresu zbioru, granicy ciągu i zbieżności szeregu liczbowego. Ćwiczenia mają charakter rachunkowy. Ich zadaniem jest pomoc w zrozumieniu wykładu i nabycie zdolności rachunkowych.

Pełny opis:

Treści programowe wykładu:

1) Pojęcia wstępne

a) Elementy rachunku zdań i kwantyfikatorów;

b) Elementarna teoria zbiorów;

c) Pojęcie funkcji, funkcje różnowartościowe , „na” i odwracalne.

2) Liczby rzeczywiste

a) Uwagi historyczne i podejście „naturalne”;

b) Definicja aksjomatyczna zbioru liczb rzeczywistych;

c) Konsekwencje aksjomatów algebraicznych i porządkowych, wartość bezwzględna;

d) Definicja i własności kresów zbioru;

e) Zasada Archimedesa i twierdzenie Cantora;

f) Równoliczność, przeliczalność i nieprzeliczalność zbiorów;

g) Zbiory liczb: naturalnych, całkowitych i wymiernych;

h) Podstawowe nierówności.

3) Ciągi liczbowe

a) Prawie wszystkie i nieskończenie wiele wyrazów ciągu;

b) Definicja i własności granicy ciągu, twierdzenie o trzech ciągach;

c) Ciągi ograniczone i monotoniczne, liczba e;

d) Granice niewłaściwe ciągu;

e) Twierdzenie Stolza;

f) Własność Cauchy’ego, zupełność;

g) Podciągi, twierdzenie Bolzano-Weierstrassa;

h) Punkty skupienia, granice dolna i górna ciągu.

4) Szeregi liczbowe

a) Zbieżność szeregu, warunek konieczny zbieżności;

b) Kryteria zbieżności dla szeregów o wyrazach nieujemnych;

c) Kryteria zbieżności dla szeregów o wyrazach dowolnych;

d) Zbieżność bezwzględna i warunkowa.

Treści programowe ćwiczeń

1) Stosowanie notacji reguł wnioskowania w ramach wiadomości wstępnych

a) Sprawdzanie wartości logicznej zdań oraz zastosowanie kwantyfikatorów;

b) Wykonywanie operacji na zbiorach;

c) Badanie różnowartościowości, wyznaczanie obrazów, przeciwobrazów i funkcji odwrotnych.

2) Własności liczb rzeczywistych

a) Uzasadnianie wybranych własności działań na liczbach oraz własności porządkowych ;

b) Posługiwanie się wartością bezwzględną;

c) Operowanie pojęciem kresu zbioru oraz jego własnościami;

d) Wyznaczanie kresów zbioru;

e) Posługiwanie się zasadą Archimedesa i twierdzeniem Cantora;

f) Badanie równoliczności i przeliczalności zbiorów;

g) Wykorzystanie podstawowych nierówności w zadaniach i przykładach.

3) Badanie własności ciągów liczbowych

a) Wyznaczanie granicy ciągu z definicji z wykorzystaniem pojęcia prawie wszystkich wyrazów ciągu;

b) Obliczanie granicy ciągu;

c) Badanie monotoniczności i ograniczoności ciagów;

d) Wyznaczanie granic niewłaściwych;

e) Wykorzystanie twierdzenia Stolza do wyznaczania granicy ciągu;

f) Sprawdzanie własności Cauchy’ego ciągu;

g) Konstrukcje podciągów ;

h) Wyznaczanie granic górnych, dolnych i punktów skupienia oraz uzasadnianie ich własności.

4) Badanie zbieżności szeregów liczbowych

a) Przykłady szeregów zbieżnych i rozbieżnych;

b) Wykorzystanie kryterium porównawczego, kryteriów d’Alemberta i Cauchyego;

c) Wykorzystanie kryterium Dirichleta i Abela;

d) Przykłady szeregów zbieżnych bezwzględnie i zbieżnych warunkowo, zmiana kolejności sumowania.

Literatura:

Literatura podstawowa:

1) W. Kryszewski, Wykład analizy matematycznej. Cz.1: Funkcje jednej zmiennej, Wydawnictwo UMK, Toruń 2009;

2) K. Kuratowski, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa (wiele wydań);

3) G.M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. I,II, PWN, Warszawa (wiele wydań).

Literatura uzupełniająca (w tym zbiory zadań)

1) A Birkholc, Analiza matematyczna dla nauczycieli, PWN, Warszawa 1980;

2) H. Rasiowa, Wstęp do matematyki, PWN, Warszawa (wiele wydań);

3) D. Miklaszewski, Wstęp do matematyki, Wydawnictwo UMK, Toruń 2015;

4) W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, t.I, PWN, Warszawa (wiele wydań);

5) J. Banaś, S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, WNT, Warszawa (wiele wydań);

6) W. Kaczor, Zadania z analizy matematycznej, cz 1, PWN, Warszawa 2005;

7) M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, Definicje, twierdzenia, wzory oraz Przykłady i zadania, Matematyka dla Studentów Politechnik, Oficyna Wydawnicza GiS, wydania z ostatnich lat.

Uwagi:

Brak

Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu.